1. BSM模型的假定
- 1.标的物价格服从几何布朗运动
- 2.允许做空，且可以完全运用做空所获得的资金
- 3.无交易费用、无税收费用，且可以无限分割
- 4.在期权期限内，标的物无期间收入
- 5.市场不存在无风险套利机会
- 6.证券交易是连续进行的
- 7.短期无风险利率是一个常数
BSM模型可由如下微分方程推导：
上式中，f 表示期权价格，S 表示标的物的价格，r 表示连续复利的无风险收益率， 表示标的物收益率的波动率，t 表示时间变量。上述微分方程的解就是欧式看涨期权的定价公式，其求解过程可以参考Black-Scholes-Merton 方程解（基于风险中性定价）_bifnhlp的博客-CSDN博客。
欧式看涨期权的定价公式：
由 put-call parity 关系式可推出/欧式看跌期权的定价公式：
利用Python构建欧式看涨、看跌期权的定价公式
#call的计算
def call_BS(S,K,sigma,r,T):
import numpy as np
from scipy.stats import norm
d1 = (np.log(S/K)+(r+sigma**2/2)*T)/(sigma*np.sqrt(T))
d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)
return S*norm.cdf(d1) - K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2)
#put的计算
def put_BS(S,K,sigma,r,T):
import numpy as np
from scipy.stats import norm
d1 = (np.log(S/K)+(r+sigma**2/2)*T)/(sigma*np.sqrt(T))
d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)
return K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(-d2) - S*norm.cdf(-d1)
call = call_BS(S = 5.29,K=6,sigma=0.24,r=0.04,T=0.5)
put = put_BS(S = 5.29,K=6,sigma=0.24,r=0.04,T=0.5)
print('看涨期权的价格：',round(call,4))
print('看跌期权的价格：',round(put,4))
看涨期权的价格： 0.1532
看跌期权的价格： 0.74432. 期权价格与相关变量的关系
2.1 期权价格与标的物（S）价格的关系
运用BSM模型的期权定价公式，利用Python程序模拟S与期权价格的关系
# 标的价格的变动
S_list = np.linspace(5,7,100)
call_list1 = call_BS(S = S_list,K=6,sigma=0.24,r=0.04,T=0.5)
put_list1 = put_BS(S = S_list,K=6,sigma=0.24,r=0.04,T=0.5)
#画图展示
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.plot(S_list,call_list1,label='看涨期权')
plt.plot(S_list,put_list1,label='看跌期权')
plt.legend()
plt.grid('True')2.2 期权价格与执行价格（K）的关系
运用BSM模型的期权定价公式，利用Python程序模拟K与期权价格的关系
# 执行价格的变动
K_list = np.linspace(5,7,100)
call_list1 = call_BS(S = 5.29,K=K_list,sigma=0.24,r=0.04,T=0.5)
put_list1 = put_BS(S = 5.29,K=K_list,sigma=0.24,r=0.04,T=0.5)
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.plot(K_list,call_list1,label='看涨期权')
plt.plot(K_list,put_list1,label='看跌期权')
plt.legend()
plt.grid('True')2.3 期权价格与波动率（sigma）的关系
运用BSM模型的期权定价公式，利用Python程序模拟波动率与期权价格的关系
# 波动率的变动
sigma_list = np.linspace(0.05,0.35,100)
call_list1 = call_BS(S = 5.29,K=6,sigma=sigma_list,r=0.04,T=0.5)
put_list1 = put_BS(S = 5.29,K=6,sigma=sigma_list,r=0.04,T=0.5)
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.plot(sigma_list,call_list1,label='看涨期权')
plt.plot(sigma_list,put_list1,label='看跌期权')
plt.legend()
plt.grid('True')2.4 期权价格与无风险收益率（r）的关系
运用BSM模型的期权定价公式，利用Python程序模拟无风险收益率与期权价格的关系
# 无风险收益率的变动
r_list = np.linspace(0.01,0.1,100)
call_list1 = call_BS(S = 5.29,K=6,sigma=0.24,r=r_list,T=0.5)
put_list1 = put_BS(S = 5.29,K=6,sigma=0.24,r=r_list,T=0.5)
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.plot(r_list,call_list1,label='看涨期权')
plt.plot(r_list,put_list1,label='看跌期权')
plt.legend()
plt.grid('True')2.5 期权价格与期权剩余期限（t）的关系
运用BSM模型的期权定价公式，利用Python程序模拟无风险收益率与期权价格的关系
# 时间的变动
T_list = np.linspace(0.01,3,100)
call_list1 = call_BS(S = 5.29,K=6,sigma=0.24,r=0.04,T=T_list)
put_list1 = put_BS(S = 5.29,K=6,sigma=0.24,r=0.04,T=T_list)
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.plot(T_list,call_list1,label='看涨期权')
plt.plot(T_list,put_list1,label='看跌期权')
plt.legend()
plt.grid('True')