零、前言
这篇是为了下一篇做点铺垫，也是来复习一些数学基础，本篇属于休闲娱乐，不要太较真，小科普一下，不喜勿喷。本文知识点前 4 点你可以随便看看，但 第5点非常重要,本文源码见 捷文规范
本文知识点：
- 数学函数的概念
- 直角坐标系的下函数图形
- 极坐标下的函数图象
- 参数方程下的函数图形
- 正弦函数的详细分析(为下一篇文章做铺垫)
一、数学函数的概念：
1.高中数学必修1：
设A,B为非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,
使对于集合A中的任意的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，
那么就称"f:A→B"为从集合A到集合B的一个函数，记作：
y=f(x),x∈A
其中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的[定义域]
与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的[值域]
2.大学高等数学
设数集D? R,则称映射f:D→R为定义在D上的函数，通常简记为
y=f(x),x∈ D
其中x称自变量，y称因变量，D称定义域，记作Df,即Df=D.
值域：Rf=f(D)={y|y=f(x),x∈ D}
3.映射：
设X,Y是两个非集合，如果存在一个法则f，使的对X中的每个元素x, 按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为X到Y的映射，记作 f:X→Y 其中y称为元素x(在映射f下)的像，并记作f(x),即y=f(x) 而元素x称为元素y(在映射f下)的原像
二、直角坐标系的下函数图形
这里只是模拟函数，然后绘制出可视的图象
数学中的实数是连续的，这里在屏幕中将像素作为基本的单元
绘图核心：点集成线，单点半径1px
自变量：x
定义域：Df用集合Set表示
函数关系：函数f(x)
点集用Map表示，x→y
0.网格与坐标系的绘制
网格和坐标系我已经封装，初始View如下：
public class MathView extends View {
private Point mCoo = new Point(500, 700);//坐标系
private Picture mCooPicture;//坐标系canvas元件
private Picture mGridPicture;//网格canvas元件
private Paint mHelpPint;//辅助画笔
private Paint mPaint;//主画笔
private Path mPath;//主路径
public MathView(Context context) {
this(context, null);
}
public MathView(Context context, @Nullable AttributeSet attrs) {
super(context, attrs);
init();//初始化
}
private void init() {
//初始化主画笔
mPaint = new Paint(Paint.ANTI_ALIAS_FLAG);
mPaint.setColor(Color.BLUE);
mPaint.setStrokeWidth(2);
mPaint.setStyle(Paint.Style.STROKE);
mPaint.setStrokeCap(Paint.Cap.ROUND);
//初始化主路径
mPath = new Path();
//初始化辅助
mHelpPint = HelpDraw.getHelpPint(Color.RED);
mCooPicture = HelpDraw.getCoo(getContext(), mCoo);
mGridPicture = HelpDraw.getGrid(getContext());
}
@Override
protected void onDraw(Canvas canvas) {
super.onDraw(canvas);
HelpDraw.draw(canvas, mGridPicture, mCooPicture);
canvas.save();
canvas.translate(mCoo.x, mCoo.y);
canvas.scale(1, -1);//y轴向上
canvas.restore();
}
具体细节这里不说了，详见：Android关于Canvas你所知道的和不知道的一切,或源码
1.一次函数：y=x,定义域[-200,300]
1.1：几个成员变量
private TreeSet<Float> Df = new TreeSet<>();//定义域 private Map<Float, Float> funMap = new HashMap<>();//映射表 private Paint mTextPaint;//文字画笔
1.2:初始化定义域
/**
* 初始化定义域
*/
private void initDf() {
for (float i = -200; i <= 300; i++) {
Df.add(i);//初始化定义域
}
}
1.3：对应法则fx
/**
* 对应法则
* @param x 原像(自变量)
* @return 像(因变量)
*/
private float f(Float x) {
float y = x;
return y;
}
1.4:遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表
/**
* 遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表
*/
private void map() {
Df.forEach(x -> {
funMap.put(x, f(x));
});
//添加所有点
}
1.5:绘制映射表
/**
* 绘制映射表
* @param canvas 画笔
* @param map 点集映射表
*/
private void drawMap(Canvas canvas, Map<Float, Float> map) {
map.forEach((k, v) -> {
canvas.drawPoint(k, v, mPaint);
});
}
2.绝对值函数：y=|x|,定义域[-200,300]
只需改一点
/**
* 对应法则
* @param x 原像(自变量)
* @return 像(因变量)
*/
private float f(Float x) {
float y=Math.abs(x);
return y;
}
3.二次函数,定义域[-200,300]
/**
* 对应法则
* @param x 原像(自变量)
* @return 像(因变量)
*/
private float f(Float x) {
float y=(x - 100) * (x - 100) / 200 + 100;
return y;
}
4.对数函数：log10(x)为例,定义域[1,1000]
/**
* 初始化定义域
*/
private void initDf() {
for (float i = 1; i <= 1000; i++) {
Df.add(i);//初始化定义域
}
}
/**
* 对应法则
*
* @param x 原像(自变量)
* @return 像(因变量)
*/
private float f(Float x) {
float y = (float) (100.f * Math.log10(x));
return y;
}
5.指数函数：定义域[-400,500]
/**
* 初始化定义域
*/
private void initDf() {
for (float i = -400; i <= 500; i++) {
Df.add(i);//初始化定义域
}
}
/**
* 对应法则
*
* @param x 原像(自变量)
* @return 像(因变量)
*/
private float f(Float x) {
float y= 100*(float) Math.pow(Math.E,x/300f);
return y;
}
6.正弦函数：定义域[-360°,450°]
/**
* 初始化定义域
*/
private void initDf() {
for (float i =-360; i <= 450; i++) {
Df.add(i);//初始化定义域
}
}
/**
* 对应法则
*
* @param x 原像(自变量)
* @return 像(因变量)
*/
private float f(Float x) {
float y= (float) (100*Math.sin(Math.PI/180*x));
return y;
}
经历过上面几个函数的绘制，不难发现，只有更改对应法则，即函数关系式就可以了
三、极坐标下的函数图象
1).寻找角度thta和长度p的函数关系
2).使用极坐标与直角坐标系的转换关系来绘制点集
1.笛卡尔心型线： ρ=100*(1-cosθ)
/**
* 初始化定义域
*/
private void initDf() {
for (float i = 1; i <= 360; i++) {
Df.add(i);//初始化定义域
}
}
/**
* 绘制映射表
*
* @param canvas 画笔
* @param map 点集映射表
*/
private void drawMap(Canvas canvas, Map<Float, Float> map) {
map.forEach((thta, p) -> {
Log.e(TAG, "drawMap: "+p+thta);
canvas.drawPoint((float) (p * Math.cos(thta)), (float) (p * Math.sin(thta)), mPaint);
});
}
/**
* 对应法则
*
* @param thta 原像(自变量)
* @return 像(因变量)
*/
private float f(Float thta) {
float p = (float) (100 * (1 - Math.cos(thta)));
return p;
}
/**
* 遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表
*/
private void map() {
Df.forEach(x -> {
float thta = (float) (Math.PI / 180 * x);
funMap.put(thta, f(thta));
});
//添加所有点
}
2.四叶草： ρ=100*(1-4*sinθ)
/**
* 对应法则
*
* @param thta 原像(自变量)
* @return 像(因变量)
*/
private float f(Float thta) {
float p = (float) (100 * (1 - Math.sin(4 * thta)));
return p;
}
3.画着玩： ρ=(e^(cosθ)-2cos(4θ)+[sin(θ/12)]^5)*100
/**
* 对应法则
*
* @param thta 原像(自变量)
* @return 像(因变量)
*/
private float f(Float thta) {
float p = (float) (100f*(Math.pow(Math.E,Math.cos(thta)) - 2 * Math.cos(4 * thta) + Math.pow(Math.sin(thta / 12), 5)));;
return p;
}
4.涡旋线： ρ=a*θ
/**
* 对应法则
*
* @param thta 原像(自变量)
* @return 像(因变量)
*/
private float f(Float thta) {
float p = 30*thta;
return p;
}
5.极坐标下的圆
/**
* 对应法则
*
* @param thta 原像(自变量)
* @return 像(因变量)
*/
private float f(Float thta) {
float p = 200;
return p;
}
四、参数方程下的函数图象
1.双曲线： x=a/cosα, y=btanα
/**
* 初始化定义域
*/
private void initDf() {
for (float i = 0; i <= 360 ; i++) {
Df.add(i);//初始化定义域
}
}
/**
* 绘制映射表
*
* @param canvas 画笔
* @param map 点集映射表
*/
private void drawMap(Canvas canvas, Map<Float, Float> map) {
map.forEach((k, v) -> {
canvas.drawPoint(k, v, mPaint);
});
}
/**
* 对应法则
*
* @param thta 原像(自变量)
* @return y像(因变量)
*/
private float y(Float thta) {
float y = (float) (100 * Math.tan(thta));
return y;
}
/**
* 对应法则
*
* @param thta 原像(自变量)
* @return x像(因变量)
*/
private float x(Float thta) {
float x = (float) (200 / Math.cos(thta));
return x;
}
/**
* 遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表
*/
private void map() {
Df.forEach(x -> {
float thta = (float) (Math.PI / 180 * x);
funMap.put(x(thta), y(thta));
});
//添加所有点
}
2.椭圆： x=a*cosα, y=bsinα
/**
* 对应法则
*
* @param thta 原像(自变量)
* @return y像(因变量)
*/
private float y(Float thta) {
float y = (float) (300 * Math.sin(thta));
return y;
}
/**
* 对应法则
*
* @param thta 原像(自变量)
* @return x像(因变量)
*/
private float x(Float thta) {
float x = (float) (400 * Math.cos(thta));
return x;
}
3.参数方程:双钮线 x=a√(cos2θ)cosθ, y=a√(cos2θ)sinθ
/**
* 对应法则:y=a√(cos2θ)sinθ
*
* @param thta 原像(自变量)
* @return y像(因变量)
*/
private float y(Float thta) {
float y = (float) (200 * Math.sqrt(Math.cos(2*thta))*Math.sin(thta));
return y;
}
/**
* 对应法则:x=a√(cos2θ )cosθ
*
* @param thta 原像(自变量)
* @return x像(因变量)
*/
private float x(Float thta) {
float x = (float) (200 * Math.sqrt(Math.cos(2*thta))*Math.cos(thta));
return x;
}
五、分析与优化
1.分析
你可能已经吐槽了:什么鬼，怎么后面都是断断续续的点拼成的
等等...先别急，我们来看看这幅图能说明什么?
先看一下定义域: [-360,450]，共810个点，每个点半径1px，每个点横向距离1px
点密集则说明相邻两点间的dy很小，相反，稀疏则说明相邻两点间的dy很大
也就是密集说明函数变化的幅度小，稀疏说明函数变化的幅度大
当相邻两点距离大于圆的直径（2px）时，视觉上会看出两个点，即不连续。
2.分析总结
为了方便描述，这里定义了几个概念
如果把一条完美的函数曲线看作P， 那所有现实中(纸、屏幕)的函数图象P'都是对P的取点模拟， 从P上取点的行为称为[取样]， 采样的个数称为[取样总数]， 取样的相邻两点xn,xn+1间的距离称为[取样距离dxn] 当每个dxn值都相等的时，称为[等距采样] 两个样本点pn,pn+1之间的距离称为[样本距离dpn]
3.看一下连续的点有哪些
在加入点集时过滤掉相邻两点间距离大于直径的点
/**
* 两点间的距离
* @return
*/
private float dis(float x0, float y0, float x1, float y1) {
return (float) Math.sqrt((x0 - x1) * (x0 - x1) + (y0 - y1) * (y0 - y1));
}
/**
* 遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表
*/
private void map() {
Df.forEach(x -> {
float dis = dis(x, f(x), x + 1, f(x + 1));//每相邻两点间距离
if (dis < mLineWidth && dis > mLineWidth / 2) {
funMap.put(x, f(x));
}
});
4.不行连续的点处理思路：
思路也就是在间距处再取样
/**
* 遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表
*/
private void map() {
Df.forEach(x -> {
float dis = dis(x, f(x), x + 1, f(x + 1));//每相邻两点间距离
if (dis < mLineWidth && dis > mLineWidth / 2) {
funMap.put(x, f(x));
} else if (dis > mLineWidth) {
float num = dis / mLineWidth;//在切割数
for (float di = 0; di <= num; di += (1.f / num)) {
x += di;
funMap.put(x, f(x));
}
}
});
//添加所有点
}
六、正弦函数的详细分析
1.正弦函数简介
其中A，ω，φ，k是常数，且ω≠0 振幅:A 角频率:ω 周期:T=2π/ω 频率:f=1/T=ω/2π 相位:ωx+φ 初相:φ 平衡线：y=k 波峰：最大值|A| 波谷：最小值-|A|
2.振幅A: 离开平衡位置的最大距离
下面横轴的每格代表90°,化为弧度制表示即：π/2,每四格是360°,即2π
2.1： A=300
2.2： A=100
2.3:振幅的作用
决定正弦曲线的波峰与波谷，形象来说就是"高矮" 振幅越大，波峰越高，波谷越低，每个周期的图象显得"高"
3.角频率ω: 单位时间内变化的相角弧度值
3.1： ω=2
3.2： ω=5
3.3：角频率的作用
决定正弦曲线的周期，形象来说就是"胖瘦" 角频率越大，周期越小，每个周期的图象显得"瘦" ω=2 周期：T = 2π/ω = π 从图中看，每两格一周期,即π 频率：f = 1/T = 1/π
4.初相φ： x=0时的相位
4.1: φ=π/6
4.2: φ=π/2
4.3:振幅的作用
相位决定了标准正弦函数的左右偏移:正左偏，负右偏，偏移量：φ/ω
5.平衡值k： 决定平衡线的位置
5.1: k=100
5.2: k=200
5.3:平衡值的作用
平衡值决定标准正弦函数的上下偏移：正上偏，负下偏，偏移量：k
现在对于几个正弦函数的参数值已经有了一点了解,本篇结束
附录：一些常用符号：
←↑→↓∪∩??∈∝??∞θρφπαβγημζΩ
后记：捷文规范
1.本文成长记录及勘误表
项目源码日期备注V0.1-github2018-1-2Android绘制函数图象及正弦函数的介绍
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