堆（heap）是一种满足特定条件的安全二叉树，主要可分为以下两种类型。

• 大顶堆（max heap）：任意节点的值大于其子节点的值
• 小顶堆（min heap）：任意节点的值小于其子节点的值

堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性：

• 最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。
• 我们将二叉树的根节点称为“堆顶”，将底层最靠右的节点称为“堆底”。
• 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（即根节点）的值分别是最大（最小）的。

01 堆常用操作

需要指出的是，许多编程语言提供的是优先队列 （priority queue），这是一种抽象数据结构，定义为具有优先级排序的队列。

实际上，堆通常用作实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小顺序出队的优先队列。从使用角度来看，我们可以将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。

堆的常用操作见下表，方法名需要根据编程语言来确定。

表1 堆的操作效率

02 堆的实现

下文已大顶堆的实现为例进行说明。

2.1 堆的存储与表示

由于堆是一种完全二叉树，我们将采用数组来存储堆。

当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。节点指针通过索引映射公式来实现。

如下图所示，给定索引 i ，其左子节点索引为 (2i + 1) ，右子节点索引为 (2i + 2) ，父节点索引为 ((i - 1) / 2)（向下取整）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。

我们可以将索引映射公式封装成函数，方便后续使用。

/* 获取左子节点索引 */
#left(i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 获取右子节点索引 */
#right(i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 获取父节点索引 */
#parent(i) {
    return Math.floor((i - 1) / 2); // 向下整除
}

2.2 访问堆顶元素

堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素。

/* 访问堆顶元素 */
peek() {
    return this.#maxHeap[0];
}

2.3 元素入堆

给定元素 val ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏。因此，需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点，这个操作被称为堆化 （heapify）。

考虑从入堆节点开始，从底至顶执行堆化。如下图所示，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。

• 步骤一

• 步骤二

• 步骤三

• 步骤四

• 步骤五

• 步骤六

• 步骤七

• 步骤八

• 步骤九

设节点总数为 n ，则树的高度为 O(log n) 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为 O(log n)，元素入堆操作的时间复杂度为 O(log n) 。

/* 元素入堆 */
push(val) {
    // 添加节点
    this.#maxHeap.push(val);
    // 从底至顶堆化
    this.#siftUp(this.size() - 1);
}

/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
#siftUp(i) {
    while (true) {
        // 获取节点 i 的父节点
        const p = this.#parent(i);
        // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
        if (p < 0 || this.#maxHeap[i] <= this.#maxHeap[p]) break;
        // 交换两节点
        this.#swap(i, p);
        // 循环向上堆化
        i = p;
    }
}

2.4 堆顶元素出堆

堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采用以下操作步骤。

1）交换堆顶元素与堆底元素（即交换根节点与最右叶节点）。

2）交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，实际上删除的是原来的堆顶元素）。

3）从根节点开始，从顶至底执行堆化。

如下图所示，“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。

• 步骤一

• 步骤二

• 步骤三

• 步骤四

• 步骤五

• 步骤六

• 步骤七

• 步骤八

• 步骤九

• 步骤十

与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 O(log n) 。

/* 元素出堆 */
pop() {
    // 判空处理
    if (this.isEmpty()) throw new Error('堆为空');
    // 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
    this.#swap(0, this.size() - 1);
    // 删除节点
    const val = this.#maxHeap.pop();
    // 从顶至底堆化
    this.#siftDown(0);
    // 返回堆顶元素
    return val;
}

/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
#siftDown(i) {
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        const l = this.#left(i),
            r = this.#right(i);
        let ma = i;
        if (l < this.size() && this.#maxHeap[l] > this.#maxHeap[ma]) ma = l;
        if (r < this.size() && this.#maxHeap[r] > this.#maxHeap[ma]) ma = r;
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (ma === i) break;
        // 交换两节点
        this.#swap(i, ma);
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

03 堆的常见应用

• 优先队列：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 O(log n) ，而建队操作为 O(n) ，这些操作都非常高效。
• 堆排序：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。然而，我们通常会使用一种更优雅的方式实现堆排序，详见后续的堆排序章节。
• 获取最大的 k 个元素：这是一个经典的算法问题，同时也是一种典型应用，例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取销量前 10 的商品等