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混叠现象

混叠：时域采样频率不足，导致高频信号混叠；两个要点，① 采样会将模拟频率转换为数字频率，② 时域采样对应频域周期化。

（对模拟频率和数字频率有困惑的请见上篇文章“一文搞懂模拟频率、数字频率、模拟角频率、采样频率”[微笑]）

信号系统在ADC之前的PrF就是预处理滤波器，就是抗混叠滤波器，滤除高频信号，采样频率满足奈奎斯特定理（采样频率大于等于信号最高频率的两倍），使得后续处理的都是正常频率范围的信号，不会出现混叠现象。

泄露现象

两种情况会产生频谱泄露：① 频谱分辨率不足， ② 加窗截断。

频率分辨率不足，若目标信号频率不是频率分辨率的整数倍，能量会被分配到相近的频率。例如，若频率分辨率为10Hz，结果目标频率为105Hz，那么其能量只能显示在100Hz和110Hz上。

数据加窗截断处理，也会导致频谱泄露，窗函数和信号相乘，频域上相当于卷积，窗函数的频谱一般是由主瓣和副瓣组成，信号会泄露到副瓣。

这里通过一个例子来说明频率分辨率导致的泄露现象。

x(t) = cos(2π*100t) + cos(2π*105t)， 信号频率为100Hz和105Hz，采样频率fs为10000Hz。

波形频率分辨率（The waveform frequency resolution）定义为：

FFT频率分辨率（The FFT resolution）定义为：

情况1：如果采样1000个点，时域信号的时长为0.1s。

这里波形频率分辨率为1/0.1=10Hz， FFT频率分辨率为10000/1000=10Hz。这样105Hz的信号就无法显示，会泄露到周边频率100Hz和110Hz。

%%  x(t) = cos(2pi*100t) + cos(2pi*105t)
Fs = 10000;
T = 1/Fs;
L0 = 1000;  % 信号长度
L = 1000;   % 数据长度
t0 = linspace(0,L0-1, L0)*T;
x =  cos(2*pi*100*t0) + cos(2*pi*105*t0);
t = linspace(0,L-1, L)*T;

figure(1);
plot(t*1e2, x);
xlabel('t');
ylabel('x[t]');

Y = fft(x);
P2 = abs(Y/L0);
P1 = P2(1:L/2+1);
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);
f = Fs*(0:(L/2))/L;

figure(2);
plot(f, P1,'Marker','.' , 'markersize', 10);
xlabel('f(Hz)');
ylabel('y(f)');
axis([0.5e2 1.5e2 0 1.5])

情况2：如果采样1000个点，时域信号的时长为0.1s，但是补零，补7000个零。频谱平滑了很多，但是依然有泄露，这是因为补零类似进行了插值操作，曲线更平滑。

情况3：如果采样8000个点，时域信号的时长为0.1s，波形频率分辨率为1.25Hz，这次就可以表征105Hz信号。

%% x(t) = cos(2pi*100t) + cos(2pi*105t)
Fs = 10000;
T = 1/Fs;
L0 = 8000;  % 信号长度
L = 8000;   % 数据长度
t0 = linspace(0,L0-1, L0)*T;
x =  cos(2*pi*100*t0) + cos(2*pi*105*t0);
t = linspace(0,L-1, L)*T;

figure(1);
plot(t*1e2, x);
xlabel('t');
ylabel('x[t]');

Y = fft(x);
P2 = abs(Y/L0);
P1 = P2(1:L/2+1);
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);
f = Fs*(0:(L/2))/L;

figure(2);
plot(f, P1,'Marker','.' , 'markersize', 10);
axis([0.5e2 1.5e2 0 1.5])
xlabel('f(Hz)');
ylabel('y(f)');

栅栏现象

频率分辨率足够，但是由于FFT的点数不足，导致很多频率没有显示，如果进行补零操作，会显示更多频谱线。

如下图，4点和8点的FFT，4点FFT丢失了π/4、3π/4、5π/4、7π/4的频谱信息，就像栅栏一样屏蔽了这些信息。补零到8点，就恢复出来。

参考资料

[1] https://www.bitweenie.com/listings/fft-zero-padding/

[2] 深入浅出数字信号处理