异常检测可以作为异常值分析的一项统计任务来处理。但是如果我们开发一个机器学习模型，它可以像往常一样自动化，可以节省很多时间。

异常检测有很多用例。信用卡欺诈检测、故障机器检测或基于异常特征的硬件系统检测、基于医疗记录的疾病检测都是很好的例子。还有更多的用例。异常检测的应用只会越来越多。

在本文中，我将解释在Python中从头开始开发异常检测算法的过程。

公式和过程

与我之前解释过的其他机器学习算法相比，这要简单得多。该算法将使用均值和方差来计算每个训练数据的概率。

如果一个训练实例的概率很高，这是正常的。如果某个训练实例的概率很低，那就是一个异常的例子。对于不同的训练集，高概率和低概率的定义是不同的。我们以后再讨论。

如果我要解释异常检测的工作过程，这很简单。

1. 使用以下公式计算平均值：

这里m是数据集的长度或训练数据的数量，而$x^i$是一个单独的训练例子。如果你有多个训练特征，大多数情况下都需要计算每个特征能的平均值。

1. 使用以下公式计算方差：

这里，mu是上一步计算的平均值。

1. 现在，用这个概率公式计算每个训练例子的概率。

不要被这个公式中的求和符号弄糊涂了！这实际上是Sigma代表方差。

稍后我们将实现该算法时，你将看到它的样子。

1. 我们现在需要找到概率的临界值。正如我前面提到的，如果一个训练例子的概率很低，那就是一个异常的例子。

低概率有多大？

这没有普遍的限制。我们需要为我们的训练数据集找出这个。

我们从步骤3中得到的输出中获取一系列概率值。对于每个概率，通过阈值的设置得到数据是否异常

然后计算一系列概率的精确度、召回率和f1分数。

精度可使用以下公式计算

召回率的计算公式如下：

在这里，True positives（真正例）是指算法检测到一个异常的例子的数量，而它真实情况也是一个异常。

False Positives（假正例）当算法检测到一个异常的例子，但在实际情况中，它不是异常的，就会出现误报。

False Negative（假反例）是指算法检测到的一个例子不是异常的，但实际上它是一个异常的例子。

从上面的公式你可以看出，更高的精确度和更高的召回率总是好的，因为这意味着我们有更多的真正的正例。但同时，假正例和假反例起着至关重要的作用，正如你在公式中看到的那样。这需要一个平衡点。根据你的行业，你需要决定哪一个对你来说是可以忍受的。

一个好办法是取平均数。计算平均值有一个独特的公式。这就是f1分数。f1得分公式为：

这里，P和R分别表示精确性和召回率。

根据f1分数，你需要选择你的阈值概率。

异常检测算法

我将使用Andrew Ng的机器学习课程的数据集，它具有两个训练特征。我没有在本文中使用真实的数据集，因为这个数据集非常适合学习。它只有两个特征。在任何真实的数据集中，都不可能只有两个特征。

首先，导入必要的包

import pandas as pd 
import numpy as np

导入数据集。这是一个excel数据集。在这里，训练数据和交叉验证数据存储在单独的表中。所以，让我们把训练数据带来。

df = pd.read_excel('ex8data1.xlsx', sheet_name='X', header=None)
df.head()

让我们将第0列与第1列进行比较。

plt.figure()
plt.scatter(df[0], df[1])
plt.show()

你可能通过看这张图知道哪些数据是异常的。

检查此数据集中有多少个训练示例：

m = len(df)

计算每个特征的平均值。这里我们只有两个特征：0和1。

s = np.sum(df, axis=0)
mu = s/m
mu

输出：

0    14.112226
1    14.997711
dtype: float64

根据上面“公式和过程”部分中描述的公式，让我们计算方差：

vr = np.sum((df - mu)**2, axis=0)
variance = vr/m
variance

输出：

0    1.832631
1    1.709745
dtype: float64

现在把它做成对角线形状。正如我在概率公式后面的“公式和过程”一节中所解释的，求和符号实际上是方差

var_dia = np.diag(variance)
var_dia

输出：

array([[1.83263141, 0.        ],
       [0.        , 1.70974533]])

计算概率：

k = len(mu)
X = df - mu
p = 1/((2*np.pi)**(k/2)*(np.linalg.det(var_dia)**0.5))* np.exp(-0.5* np.sum(X @ np.linalg.pinv(var_dia) * X,axis=1))
p

训练部分已经完成。

下一步是找出阈值概率。如果概率低于阈值概率，则示例数据为异常数据。但我们需要为我们的特殊情况找出那个阈值。

对于这一步，我们使用交叉验证数据和标签。

对于你的案例，你只需保留一部分原始数据以进行交叉验证。

现在导入交叉验证数据和标签：

cvx = pd.read_excel('ex8data1.xlsx', sheet_name='Xval', header=None)
cvx.head()

标签如下：

cvy = pd.read_excel('ex8data1.xlsx', sheet_name='y', header=None)
cvy.head()

我将把'cvy'转换成NumPy数组，因为我喜欢使用数组。不过，数据帧也不错。

y = np.array(cvy)

输出：

# 数组的一部分
array([[0],
       [0],
       [0],
       [0],
       [0],
       [0],
       [0],
       [0],
       [0],

这里，y值0表示这是一个正常的例子，y值1表示这是一个异常的例子。

现在，如何选择一个阈值？

我不想只检查概率表中的所有概率。这可能是不必要的。让我们再检查一下概率值。

p.describe()

输出：

count    3.070000e+02
mean     5.905331e-02
std      2.324461e-02
min      1.181209e-23
25%      4.361075e-02
50%      6.510144e-02
75%      7.849532e-02
max      8.986095e-02
dtype: float64

如图所示，我们没有太多异常数据。所以，如果我们从75%的值开始，这应该是好的。但为了安全起见，我会从平均值开始。

因此，我们将从平均值和更低的概率范围。我们将检查这个范围内每个概率的f1分数。

首先，定义一个函数来计算真正例、假正例和假反例：

def tpfpfn(ep):
    tp, fp, fn = 0, 0, 0
    for i in range(len(y)):
        if p[i] <= ep and y[i][0] == 1:
            tp += 1
        elif p[i] <= ep and y[i][0] == 0:
            fp += 1
        elif p[i] > ep and y[i][0] == 1:
            fn += 1
    return tp, fp, fn

列出低于或等于平均概率的概率。

eps = [i for i in p if i <= p.mean()]

检查一下列表的长度

len(eps)

输出：

133

根据前面讨论的公式定义一个计算f1分数的函数：

def f1(ep):
    tp, fp, fn = tpfpfn(ep)
    prec = tp/(tp + fp)
    rec = tp/(tp + fn)
    f1 = 2*prec*rec/(prec + rec)
    return f1

所有函数都准备好了！

现在计算所有epsilon或我们之前选择的概率值范围的f1分数。

f = []
for i in eps:
    f.append(f1(i))
f

输出：

[0.14285714285714285,
 0.14035087719298248,
 0.1927710843373494,
 0.1568627450980392,
 0.208955223880597,
 0.41379310344827586,
 0.15517241379310345,
 0.28571428571428575,
 0.19444444444444445,
 0.5217391304347826,
 0.19718309859154928,
 0.19753086419753085,
 0.29268292682926833,
 0.14545454545454545,

这是f分数表的一部分。长度应该是133。

f分数通常在0到1之间，其中f1得分越高越好。所以，我们需要从刚才计算的f分数列表中取f的最高分数。

现在，使用“argmax”函数来确定f分数值最大值的索引。

np.array(f).argmax()

输出：

131

现在用这个索引来得到阈值概率。

e = eps[131]
e

输出：

6.107184445968581e-05

找出异常实例

我们有临界概率。我们可以从中找出我们训练数据的标签。

如果概率值小于或等于该阈值，则数据为异常数据，否则为正常数据。我们将正常数据和异常数据分别表示为0和1，

label = []
for i in range(len(df)):
    if p[i] <= e:
        label.append(1)
    else:
        label.append(0)
label

输出：

[0,
 0,
 0,
 0,
 0,
 0,
 0,
 0,
 0,
 0,

这是标签列表的一部分。

我将在上面的训练数据集中添加此计算标签：

df['label'] = np.array(label)
df.head()

我在标签为1的地方用红色绘制数据，在标签为0的地方用黑色绘制。以下是结果。

有道理吗？

是的，对吧？红色的数据明显异常。

结论

我试图一步一步地解释开发异常检测算法的过程，我希望这是可以理解的。如果你仅仅通过阅读就无法理解，建议你运行每一段代码。那就很清楚了。