生存分析（Survival Analysis）是一种统计分析方法，用于研究时间至一个或多个事件发生的预期持续时长，这些事件可以包括各种感兴趣的情况，如心脏病发作、癌症缓解或死亡等。这个方法也被称为持续时间分析（Duration Analysis）或持续时间建模（Duration Modelling）、时间至事件分析（Time-to-Event Analysis）、可靠性分析（Reliability Analysis）和事件历史分析（Event History Analysis）。与其他类型的分析不同，生存分析具有独特的特点，因此需要不同的统计技术。

在这个上下文中，"生存"并不总是指死亡，而是指随着时间的推移而发生的各种事件。例如，员工的离职就是这种事件类型，可以利用生存分析的技术来分析员工流动率，为管理和招聘提供决策支持。这种分析有助于理解事件发生的时间模式，从而为组织提供更有效的人力资源策略和管理方法。

从lifelines的示例开始

lifelines 是一个用于建模和分析生存数据的 Python 库。它提供了多种生存分析工具，包括 Kaplan-Meier 生存曲线、Cox 比例风险模型、Aalen 加法风险模型等。

• Kaplan-Meier 生存曲线是一种非参数方法，用于估计生存概率。它适用于分析诸如患者存活时间等生存数据。使用 KaplanMeierFitter 类拟合生存曲线，通过 fit 方法拟合数据，然后使用 plot 方法绘制生存曲线图。
• Cox 比例风险模型是一种半参数方法，用于分析生存数据。它可以研究不同因素对生存时间的影响。使用 CoxPHFitter 类拟合 Cox 比例风险模型，通过 fit 方法拟合模型，然后进行参数估计和假设检验。
• Aalen 加法风险模型是一种考虑时间依赖性的生存分析方法，适用于具有时间相关危险率的数据。使用 AalenAdditiveFitter 类拟合 Aalen 加法风险模型，通过 fit 方法拟合模型，然后进行参数估计和假设检验。

lifelines 还提供了一系列生存分析统计量，例如中位生存时间、生存概率、累积危险函数等，用于描述生存数据的特征。

lefelines 示例数据集中包含163个观察结果，包含三列：

• T代表min(T, C)，其中T为死亡时间，C为观测截止时间。
• E代表是否观察到“死亡”，1代表观测到了，0代表未观测到，即生存分析中的删失数据，共7个。
• group代表是否存在病毒， miR-137代表存在病毒，control代表为不存在即对照组，根据统计，存在miR-137病毒人数34人，不存在129人。

Kaplan-Meier 估计

估计生存函数的最简单方法是使用 Kaplan-Meier 估计量。其方程如下所示。基本上是计算每个时间点有多少人死亡/存活。其中，di 表示时间 ti 发生的死亡事件数，ni 表示时间 ti 时有生存风险的人数。

举个例子，我们有 21 个数据点。在时间 33，21 人中有 1 人死亡。因此，时间 33 的生存率计算为 1?1/21。在时间 54，剩下的 20 人中有 2 人死亡。在时间 61，剩下的 18 人中有 9 人死亡。在时间 67，我们只剩下 7 人，其中 6 人已经死亡。可以看出，Kaplan-Meier 估计是非常容易理解和计算的，即使是手动计算也很容易。

在 lifelines 中使用 KaplanMeierFitter，我们会得到相同的结果。除了下面的函数之外，我们还可以从 kmf.event_table 获取事件表，从 kmf.median_survival_times 获取中位生存时间（50% 的人口死亡的时间），以及从 kmf.confidence_interval_ 获取生存估计的置信区间。

from lifelines.datasets import load_waltons
df = load_waltons()
T = df['T']
E = df['E']
from lifelines import KaplanMeierFitter
kmf = KaplanMeierFitter()
kmf.fit(T, event_observed=E)
#print(kmf.survival_function_)
kmf.plot_survival_function()

Nelson-Aalen 估计

Nelson-Aalen 估计量首先通过以下方程估计危险率。其中，di 表示时间ti 发生的死亡事件数，ni 表示时间 ti 时有死亡风险的人数。我们可以通过下面的简单计算获得所有的危险率。

from lifelines import NelsonAalenFitter
naf = NelsonAalenFitter(nelson_aalen_smoothing=False)
naf.fit(T, event_observed=E)
naf.cumulative_hazard_
naf.plot_cumulative_hazard()

Kaplan-Meier 和 Nelson-Aalen 估计都是非参数的。它们易于解释，但没有功能形式，因此我们无法用它来建模分布函数。

指数模型(Exponential model)生存函数

指数分布基于泊松过程，其中事件以恒定的事件发生率 连续且独立地发生。指数分布模拟了事件发生前需要多长时间，其概率密度函数为 ()=xp(?)，累积分布函数为 ()=(≤)=1?xp(?)。指数模型的累积分布函数表示了在时间 t 之后未生存的概率，但生存函数则相反。因此，对于生存函数：

• ()=1?()=exp(?)
• ?()=
• ()=

from lifelines import ExponentialFitter
exf=ExponentialFitter().fit(T,E,label='Exponential model')
exf.plot_survival_function()

威布尔模型(Weibull model)生存函数

指数分布是威布尔分布的特例：x~exp()~威布尔分布 (1/,1)。威布尔分布的累积分布函数为 ()=1?exp(?(/))。

• 当 < 1 时：失效率随时间降低
• 当 = 1 时：失效率保持恒定（指数分布）
• 当 > 1 时：失效率随时间增加

同样，我们可以将生存函数写作 1-F(t)：

• ()=exp(?(/))
• ?()=/(/)^(?1)
• ()=(/)

from lifelines import WeibullFitter
wbf=WeibullFitter().fit(T,E,label='Weibull model')
wbf.plot_survival_function()

Cox 比例风险模型

Cox 比例风险模型是指当 0 变为 (0()) 时，基线风险是时间的函数。

?(|)=0()(∑)

其中：

• ?() 表示风险
• 0() 表示基线风险，随时间变化
• (∑) 表示部分风险，与时间无关
• xi 通常以均值为中心

from lifelines import CoxPHFitter
from lifelines.datasets import load_rossi
rossi_dataset = load_rossi()
cph = CoxPHFitter()
cph.fit(rossi_dataset, duration_col='week', event_col='arrest')
#cph.print_summary()
cph.plot()
#cph.plot_partial_effects_on_outcome()
#'plot', 'plot_covariate_groups', 'plot_partial_effects_on_outcome'

Aalen 加法风险模型(Aalen’s additive model)

h(tx)=b0(t)+b1(t)x1+...+bN(t)xN

from lifelines import AalenAdditiveFitter

df = pd.DataFrame({
    'T': [5, 3, 9, 8, 7, 4, 4, 3, 2, 5, 6, 7],
    'E': [1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0],
    'var': [0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2],
    'age': [4, 3, 9, 8, 7, 4, 4, 3, 2, 5, 6, 7],
})

aaf = AalenAdditiveFitter()
aaf.fit(df, 'T', 'E')
aaf.predict_median(df)
aaf.print_summary()

生存分析是一种重要的统计分析方法，用于研究事件发生的持续时间，无论这些事件是什么。它不仅限于分析死亡事件，还适用于各种其他情况，如疾病缓解、员工离职等。这种分析方法为研究人员提供了深入了解事件发生时间模式的途径，从而可以制定有效的战略和管理措施。

无论是医疗领域对患者治疗效果的研究，还是企业对员工留存率的分析，生存分析都发挥着关键作用。这种方法帮助我们深入了解事件发生的规律，从而为未来制定决策和规划提供支持。