第二章 矩阵

1.6 创建矩阵

1.创建矩阵

2.认识创建方法

基本运算符 []

冒号运算符 :

用逗号或空格分隔同一行的元素

用分号或回车键分隔不同的行

创建序列 linspace

3.说明

矩阵是一个二维的数据阵列

Matlab 是一个基于矩阵的计算环境，最基本的的数据结构是矩阵

单个数值也存储为矩阵，在这种情况下，矩阵的大小为 1 乘 1

再例如'Hello World'这样的字符元素是 1×11 的矩阵

也支持有两个以上维度的数据结构，即 n 维数组

4.实例演示

%1_6
[1 2 3] %空格分隔元素
[1,2,3] %逗号分隔元素
[1 2 3
4 5 6] %回车创建不同行
[1 2 3;4 5 6] %分号分隔不同行
1:5 %行向量: 1 至 5
1:4.5 %取整到 4
4:1 %空的行向量（错误写法）
4:-1:1 %4 至 1 行向量（正确写法）
2.5:0.3:3.2 %按 0.3 增长至边界值内
linspace(1,5,5) %参数分别为起点、终点和元素个数
linspace(1,5) %不指定元素个数，则默认 100 个元素

1.7 创建矩阵的函数

1.介绍一些创建矩阵的常用函数

2.认识函数

全 0 矩阵 zeros

全 1 矩阵 ones

单位矩阵 eye

对角矩阵 diag

魔方矩阵 magic

随机矩阵 rand

上三角矩阵 triu

下三角矩阵 tril

3.实例演示

%1_7
zeros(1,4) %1 行 4 列全 0 矩阵
zeros(3,4) %3 行 4 列全 0 矩阵
zeros(4) %4 阶全 0 矩阵
ones(1,4) %1 行 4 列全 1 矩阵
eye(3) %3 阶单位矩阵
eye(2,3) %2 行 3 列单位矩阵
magic(3) %3 阶魔方矩阵
magic(30)
a=rand(1,4) %1 行 4 列随机矩阵
b=rand(4) %4 阶随机矩阵
diag(b) %提取对角线元素
diag(a) %a 为向量，则将 a 元素扩展为 n 阶矩阵
triu(b) %提取上三角形元素
tril(b) %提取下三角形元素
tril(b,1) %添加偏移量参数，1 正数往右上
tril(b,2)
tril(b,-1) %向左下偏移 1，再取下三角元素

1.8 连接矩阵

1.矩阵的连接

2.认识连接方法

基本连接符[]

水平连接 horzcat

垂直连接 vertcat

平铺复制 repmat

对角分块 blkdiag

任意维度连接 cat

3.说明

矩阵连接是通过连接一个或多个矩阵来创建一个新矩阵的过程

与创建类似，逗号或空格实现水平连接，分号实现垂直连接

连接后的矩阵要仍然保持矩形结构才能实现连接

也就是说，水平连接矩阵，每个矩阵必须具有相同的行数

垂直连接时，每个矩阵必须具有相同的列数

4.实例演示

%1_8
a=[1 2;3 4]
b=[5 6;7 8]
[a,b] %矩阵水平连接
[a;b] %垂直连接
horzcat(a,b) %水平连接函数
vertcat(a,b) %垂直连接函数
repmat(a,1,3) %平铺复制为 1 行 3 列矩阵
repmat(a,3,3)
blkdiag(a,b) %对角分块重组函数：将矩阵 a 和 b 整体分别视为对角线上元素进行重组
e=[1 2]
cat(1,e,e) %任意维度连接：维度、矩阵 e、矩阵 e。1 维按列纵向连接
cat(2,e,e) %2 维：横向连接
cat(3,e,e) %3 维：页面方向（三维方向）

1.9 矩阵索引

1.矩阵的索引

2.认识函数

获取矩阵的行列数 size

3.概念

一个矩阵里有多个元素，要想访问或修改其中的元素，使用索引

索引 3 种方式：

①组合索引 A(i,j)，也称下标索引

②线性索引 A(i) ，按列优先的顺序依次向下索引

③逻辑索引，在逻辑为真的位置返回矩阵的元素

4.说明

组合索引和线性方式可以互换

访问多个元素或不连续的元素可以把索引写成矩阵的形式

逻辑索引的维度必须与矩阵的维度相同

索引超出矩阵范围的元素会报错

5.实例演示

%1_9
a=magic(3) %3 阶魔方矩阵
a(2,3) %组合索引：索引第 2 行第 3 列元素（2 个参数，用逗号分隔）
a(3) %线性索引：列优先索引（1 个参数）
size(a) %获取矩阵行列维度
sub2ind([3,3],2,3) %组合索引转化为线性索引，三个输入参数为：矩阵维度、组合索引行位置、组合索引列位置
[row,col]=ind2sub(size(a),8) %线性索引转化为组合索引
% a(3,4) %超出范围报错（初学者常犯错误）
a(1,:) %冒号：表示任意行或任意列
a(:,1) %任意行的第 1 列
a(:,:)
a(1,2:3) %第 1 行，第 2-3 列
a(1,[1 3]) %第 1 行，第 1 列和第 3 列
a(1,end) %end 表示最后一个：第 1 行最后 1 列
a([1 3]) %线性索引：矩阵 a 第 1 个和第 3 个元素
a([1 2;4 5]) %提取第 1、2 和第 4、5 个元素并分别放置在矩阵第 1 行和第 2 行
a(:) %按列优先转变为单个数字序列，返回一列值
b=[1 2;3 4]
c=[true false;true false] %逻辑数组结果用 1/0 表示
b(c) %逻辑索引：逻辑值为真返回对应元素，为假不返回

1.10 矩阵元素修改

1.矩阵元素的修改、添加和删除

2.说明

通过指定矩阵索引修改、添加或删除相应元素

索引超出矩阵范围的元素会报错，但可以赋值

删除元素后的矩阵仍然要保持矩形，否则报错

必要时，对超出矩阵范围的索引赋值需要预分配内存

3.实例演示

%1_10
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
a(2,2)=10
a(2)=10
a(3,4)=10 %超出矩阵范围索引会报错，但可以赋值。扩展为索引维度再对该索引元素赋值，其余扩充位置填充元素 0
a(3:4,4:5)=[1 2;3 4] %通过组合索引赋值，先扩展维度再赋值
a(:,2)=[] %任意行第 2 列变为空：删除
% a(1,2)=[] %矩阵单个元素删除报错，删除单个元素无法保持矩阵维度
a(2)=[] %线性索引先按列优先扩展为单个数字序列，删除单个元素可行

1.11 重塑矩阵

1.重塑矩阵包括矩阵的元素重排、旋转、翻转、移位、排序等

2.认识函数

元素重排 reshape

旋转 rot90

左右翻转 fliplr

上下翻转 flipud

翻转 flip

循环移位 circshift

排序 sort

按行排序 sortrows

判断是否排序 issorted

3.实例演示

%1_11
%作者：freexyn
a=[1 2 3 4;5 6 7 8]
reshape(a,4,2) %元素重排，参数：矩阵名称、重排行数、重排列数。重排规则：按列优先重排为所需维度
% reshape(a,3,3) %元素数量不符报错
rot90(a) %矩阵旋转：逆时针 90 度
fliplr(a) %矩阵左右翻转
flipud(a) %矩阵上下翻转
flip(a,1) %矩阵任意方向翻转：参数 1 为方向，1 维方向是上下翻转
flip(a,2) %2 维方向是左右翻转
circshift(a,[0 2]) %矩阵循环移位：矩阵、移动步长（用向量表示行数、列数），移动方向为坐标轴正方向
circshift(a,[-1 2])
sort(a) %矩阵元素的列排序：默认升序排列（行不保持）
sort(a,'descend') %参数：降序排列
issorted(a) %判断是否按升序已排列
issorted(a,'descend')
b=magic(3)
sortrows(b) %按行（保持）排序：将行视为整体，不指定参数则默认按每行第 1 元素大小升序排列
sortrows(b,2) %指定参数 2，即按每行第 2 个元素排序
sortrows(b,3)

1.12 矩阵属性

1.矩阵的属性

描述矩阵的信息，包括大小、长度、元素数目和维度等

2.认识函数

大小 size

长度 length

元素数目 numel

维度 ndims

3.实例演示

%1_12
a=[1 2 3 4;5 6 7 8]
size(a) %矩阵行数列数
length(a) %矩阵长度：取行数、列数中的最大值
length(a') %矩阵转至后，长度仍为 4
numel(a) %返回元素个数
ndims(a) %矩阵维度数：2 即行和列（2 维度）
ndims(a(1,:)) %组合索引提取出第 1 行索引再计算维度，即行向量的维度，结果 2 因仍为行和列（2 维度）
ndims(a(1,1)) %提出 1 行 1 列元素计算维度，结果仍为 2，因单元素认为 1*1 矩阵（2 维度）

1.13 特殊矩阵形式

1.特殊的矩阵形式：空矩阵、标量和向量

2.认识函数

判断空矩阵 isempty

判断标量 isscalar

判断向量 isvector

3.概念

3.1 空矩阵

有一个或多个等于零的维度（0×0，0×1，1×0）

3.2 标量

维度为 1×1 的矩阵，在 Matlab 中显示为单个实数或复数

3.3 向量

维度为 1×n 或 n×1 的矩阵，在 Matlab 中显示为一个行或一个列

4.实例演示

%1_13
%freexyn
a=[] %空矩阵
size(a) %获取行列数
length(a) %矩阵长度
numel(a) %元素个数
ndims(a) %矩阵维度
isempty(a) %判断是否空矩阵
zeros(0,1) %全 0 矩阵指定一个维度为 0
a=2 %创建标量
size(a)
length(a)
numel(a)
ndims(a)
isempty(a)
isscalar(a) %判断是否为标量
a=[1 2 3] %创建向量
size(a)
length(a)
numel(a)
ndims(a)
isempty(a)
isscalar(a)
isvector(a) %判断是否向量

1.14 多维数组

1.多维数组的创建和索引方法

2.认识函数

维度简化 squeeze

3.概念

Matlab 中具有多于两个维度的数据阵列被称为多维数组

多维数组是普通二维矩阵的扩展

如图为 3*3*2 的三维数组（维度名称分别为行、列、页面）

4.实例演示

%1_14
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
b=[11 12 13;14 15 16;17 18 19]
c=a
c(:,:,2)=b %数组 c 任意行任意列的第 2 个页面赋值数组 b。显示时，对高维数组进行拆分，拆分为 2 维数组显示
ndims(c) %数组维度
size(c) %行、列、页面数
d=c %3 维数组赋值给 d
d(:,:,:,2)=c %d 的任意行、列、页面的第 4 个维度的第 2 索引赋值一个 3 维数组 c。显示时，高维数组依次拆分，遍历循环显示每个 2 维数组
ndims(d) %4 维
size(d) %每个维度大小：3 3 2 2
%% 用创建矩阵的函数创建高维数组
zeros(2,2,2) %3 维全 0 数组
repmat(10,[2 2 2]) %矩阵平铺重塑：将标量 10 平铺重塑为 2 行 2 列 2 页面的数组
reshape(c,[2 3 3]) %对高维数组进行重塑：c 是 3*3*2 数组重塑为 2*3*3 数组
c(1,[1 2],2) %组合索引：访问数组 c 中第 1 行、第 1 和 2 列中、第 2 个页面的元素
d(:,:,1,1) %（4 维数组）组合索引：任意行、列、第 1 页面、第四维度 1 的元素
c(1,1) %对于 3 维数组使用低维索引，索引第 1 行第 1 列，不指定页面，也可索引。高维数组使用低维索引，会自动用 1 补齐末尾索引
a(1,1,1) %低维数组用高维索引。原理：Matlab 中任何数组都可理解为无限尾随 1 的高维数组
e=ones(2,2,1,1,1,1,1) %全 1 矩阵：2 行 2 列，后面尾随 1 无实际意义
e=ones(2,2,1,1,1,2,1) %全 1 矩阵：2 行 2 列，第 6 维为 2，会将 3、4、5、7 维度初始化为0
squeeze(e) %维度简化：简化高维数组中不必要的维度

1.15 性能优化

1.在处理大型数组时，兼顾 Matlab 运算性能的优化

2.说明

使用大型数组时，尽量避免创建不必要的副本

处理数组容量不断变化的问题时，合理的进行预分配内存

把代码放入程序文件中，比在命令窗口中，运算效率高

3.实例演示

%1_15
a=magic(3)
a(3,3)=10
b=a %数据一样，变量名称不同，因此 a、b 变量同时指向了同一矩阵
a(3,3)=15 %执行该命令，先预分配内存并复制一份 a 的原始值，保留在上个语句 b 中，然后再改变 a 的元素值
%预分配内存：输入变量时会初始化分配所需内存，而后续编程中变量变化需要更多内存时，需额外内存支持，可能面临分布式的内存分布，调用效率受到影响，因此需预分配内存
a=zeros(300,300) %初始化 300*300 全 0 矩阵，Matlab 会分配相应内存，在该维度内对元素进行相应修改替换，确保在完整内存中高效运行
% a=zeros(30000,30000)

（第二章结束，后接第三章）