本文为精品章节，彻底解决您儿子女儿的三角函数恐惧，提供了大量方便的工具与图表，感谢品读
1，三角函数既然是一种函数，本质上就是一种对应关系（弧度与边的对应关系，边与边的对应关系）
2，谈三角函数，就需要从圆的面积与周长，谈到π的本质，引出弧度定义，在弧度体系下探究标准圆上的任意点的垂直边函数斜率与水平边函数斜率的关系
3，搞清楚了三角函数的本质，再从三角函数定义出发，得出各种推论，研究各种推论的函数性质（domain与range，图像，对称性，周期性，转换条件，应用场景等）
本文的章节归纳
A，三角函数来源
A1，π的来源
1，圆面积与大正方形面积的关系
将一个正方形内切一个圆，并将正方形四等分
将大正方形的面积标记为S正(田) ，小正方形面积为S正（口），圆面积为S圆（O），且假设有值N令S圆（O）=N*S正（口），则
假设小正方形边长为L，则S正（口）=L*L，周长C正（口）=4L，得推论：
2，圆周长与小正方形边长的关系
显然，上半圆的周长大于2L，整个圆的周长大于4L，假设有值M令，
C圆（O）=M * L
3，圆的面积与周长建模
以无穷小数t为间隔，弄一个圈出来，蓝色圈与黑色圈间隔出来的黄色区域的面积，记为
S圈（O黄）=S圆（O黑）— S圆（O蓝），记为结论1
将黄色区域的圈随机选中一点，将其放大，放大到只有这个点与之相邻的另外一个点
如果将这个黄圈上的所有点，两两相连，然后以这个微小的间距t为宽，就可以形成一个长为黄圈周长，宽为t的长方形！这个长方形的面积=黄圈的周长*t，记为结论2
已知，结论1=结论2，得表达式
因此C圆（O）=M * L=2NL
将N换成约定俗成的说法π，则
另外容易看出来，圆的周长函数是圆的面积函数的导数。
至于π=3.1415926...的求值过程，需要参考本栏目的《如何求解π》
A2，弧度的来源
1，弧度（radian）定义
1，方向是什么意思？
场景：改变方向，站着转，最终会转出一个圆，尝试用圆来解释方向。
角度1（360度）：转一个完整的圈，回到原点
角度0.5：转半圈
角度0.25：朝左转，朝右转
2，量化转向的程度
由于圆的周长定义为：C=2*π*R
无论圆有多大，圆的长度，需要2π个R（半径）的长度，因此也可以将一整圈的角度（Angles角度1，或者度数degrees：360度）定义为2π，那么，
转一圈：2π
转半圈：π
转四分之1圈：π/2
3，求出θ的值是多少？
因为圆的周长=2πr ，所求θ角度的对应圆弧的长度为s，得如下关系：
θ是圆心角ACB从单位圆（半径为1的圆）切出的弧AB的长度，称这样的长度是弧度。
角度Angles有2种测量单位，弧度radians：2π与度数degrees：360度
弧度radians与度数degrees的关系表为
微积分的建模过程中，一般使用弧度代表角度的测量单位
2，正测量度（正角），负测量度（负角）
positive measures，negative measures
约定，从原点出发，以x轴方向为初始射线，从初始射线逆时针到终端射线，称为正测量度（正角）positive measures，反之顺时针就叫负测量度（负角）negative measures
弧度的分类（不要背！！了解即可，忘记了再翻出来看即可）
锐角：0π<α<π/2
直角：α=π/2
钝角：π/2<α<π
平角：α=π
周角：α=2π
3，象限角：
在标准坐标系中，角的初始边与x轴正半轴重合，终边落在第几象限就是第几象限角
4，终边相同的角：
与角α终边相同的角θ的集合。说人话就是，不管这个角是多大或者多小的一个角，无论在4个象限中画了几个圈，只要角α与角θ的初始边在x正半轴，角α与角θ的终边是同一条射线，这两个角就是终边相同的角
5，扇形面积
用弧度表示扇形面积：
A3，三角函数来源
问题1：建立模型
在坐标系中任意选中一条长度为L的直线（不与x轴重合），从水平轴逆时针弧度为α，如何求出该直线在坐标系中垂直方向和水平方向各有多长？
英文中垂直叫vertical，水平叫horizontal，用V代表垂直距离的函数，用H代表水平距离的函数
由于V与H与L和弧度α有关，因此问题可以缩写为：
绿色虚线水平长度函数—H（L，α），蓝色虚线垂直长度函数—V（L，α）
问题2：化简变换
保持大部分条件不变，选中其中一个参数进行变化，尝试新的建模（随便的尝试）
- 直线长度增1倍到2L
- 弧度α增加1倍到2α
针对1，长度增加到2L之后，可以用缩写表达
H（2L，α）=2H（L，α）
V（2L，α）=2V（L，α）
由于常数可以提出来，并且L=1*L，如果把L也看做常数，则
H（L，α）=LH（1，α）
V（L，α）=LV（1，α）
针对2，弧度α增加1倍到2α之后，并没有明显的可以直接得到的关系，但若是将α直接增大到弧度π/2，直线与vertical轴也就是y轴重合时，H（L，α）直接值归0，V（L，α）则值变为L，可以用缩写表达
H（L，π/2）=0，V（L，π/2）=L
结合1的结论，可以改写为
LH（1，π/2）=0，H（1，π/2）=0
LV(1，π/2)=L，V（1，π/2）=1
同理，如果将α缩小成弧度0，则有表达式缩写：
H（L，0）=L，LH（1，0）=L，H（1,0）=1
V（L，0）=0，LV（1，0）=0，V（1,0）=0
综合1,2的结论有：
H（L，α）=LH（1，α）
V（L，α）=LV（1，α）
H（1，π/2）=0 ， V（1，π/2）=1
H（1,0）=1 ， V（1,0）=0
问题3：函数图像
为方便计算，将L的值设为1。将坐标系整合进入圆形，思考旋转性。如果直线逆时针旋转2π的弧度，函数V与H会发生怎样的变化？
由于直线逆时针旋转一周，依然会回到当前位置，H不会变化，则有表达式
1，未旋转前
H（1，π/2）=0
H（1,0）=1
2，旋转之后
H（1，π/2+2π）=0
H（1，0+2π）=1
顺时针旋转到-π/2 时，H=0
1，未旋转前
H（1，π/2）=0
H（1,0）=1
2，旋转之后
H（1，π/2 - π/2）=1
H（1，0 - π/2）=0
顺时针旋转到-π时，H=-1
1，未旋转前
H（1，π/2）=0
H（1,0）=1
2，旋转之后
H（1，π/2 - π）=0
H（1，0 - π）=-1
描点可以画出H的图像大致为
按照同样的旋转，也可以得到V的图像大致为
问题4：函数斜率
找出H（1，α）与V（1，α）的斜率？
增加一个极小的弧度，用数值表示就是dα，d代表differential意为“不同的”，引出一条新射线，长度也是L，用L2来代表这条新射线用L1来代表原射线，直线顶端的圆弧部分放大（红色框里的部分）得到L2与L1的直观图
由于dα是极小值，并且L2=L1=L=1，根据弧度的定义，L2到L1的距离就是dα，通过公式也能得出同样的结论，设距离是S，则 dα=S/L=S/1=S，可以得新图像
要求出H（1，α）与V（1，α）的斜率，得知道新增的dH与dV，也就是Hdα与Vdα。
通过比对L1与L2的新旧位置关系，可以画出一个dH与dV的图
其中，AC边就是L2到L1新增的dV，而CB就是新增dH，只不过dH的值在横轴上体现是一个负数。现在需要求得AC与CB的具体值dV与dH
经过图像的变换得到三角形LHV与三角形ACB是等比例缩小的关系。
由于原三角形LHV的长度依次为1，V（1，α），H（1，α）
且三角形ACB的AB边已知为dα，所以AC边为H（1，α）dα，BC边为V（1，α）dα，即dV=H（1，α）dα ，dH= —V（1，α）dα
所以得到：
将垂直函数V与水平函数H替换成三角函数sinα与cosα则
B，三角函数核心
B1，核心概念：
对于锐角：
对于钝角：
三角函数之间的转换
在r为1的单位圆中，可以得出2个显而易见的三角函数转换关系
注意：对于tanθ，cosθ不能为0，分母不为0
给出三个重要函数的弧度值关系
B2，函数映射，压缩与拉伸
函数的映射
逆时针为正弧度，顺时针为负弧度
三角函数的映射简化计算表
1，终边相同的角
x，y，r的值并未发生变化
2，关于x轴映射
x，r值并未发生变化，y值发生变化
3，关于y轴映射
y，r值未发生变化，x值发生变化
4，关于原点映射
r值未发生变化，x，y值发生变化
5，特殊变换1
6，特殊变换2
函数的拉伸与压缩
第1种情况，函数图像平移，设A>0，
sin（x），sin（x+A），sin（x-A）
+A，函数图像向左平移A
-A，函数图像向右平移A
第2种情况，设A>0，纵向拉伸A倍x值不变y值拉伸A倍，3sin（x），2sin（x），sin（x）
表达为y=A sin（x）
第3种情况，y=sin（Ax）,横向伸缩1/A倍
第4种情况，y=sin（x）+A，y轴方向移动A，+A上移，-A下移
函数的周期
B3，三角恒等变换
辅角公式
辅助角公式
2倍角公式
半角公式
余弦公式