如下图（左）所求，有若干个顶点需要全部连通，两个顶点之间的连通都有一定的权值（边值），如何连接可以使其边值求各达到最小？
这其实就是一个构造最小生成树的问题。
1 构造最小生成树的Kruskal算法
设G=（V，E）是无向连通带权图，V={1，2，…，n}，表示顶点，E表示边集；
设最小生成树T=（V，TE），该树的初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=（V，{}），基中V表示顶点，TE表示最小生成树的边集。Kruskal算法将这n个顶点看成是n个孤立的连通分支。它首先将所有的边按权值从小到大排序，然后只要 T 中选中的边数不到n?1，就做如下的贪心选择：
在边集E中选取权值最小的边（i，j），其中i、j表示边的顶点序号，如果将边（i，j）加入边集TE中不产生回路（圈），则将边（i，j）加入边集TE中，即用边（i，j）将这两个连通分支合并连接成一个连通分支；否则继续选择下一条最短边。把边（i，j）从集合E中删去。继续上面的贪心选择，直到T中所有顶点都在同一个连通分支上为止。此时，选取到的n?1条边恰好构成G的一棵最小生成树T。
那么，怎样判断加入某条边后图T会不会出现回路呢？
该算法对于手工计算十分方便，因为用肉眼可以很容易看到挑选哪些边能够避免构成回路（避圈法），但使用计算机程序来实现时，还需要一种机制来进行判断。Kruskal算法用了一个非常聪明的方法，就是运用集合避圈：如果所选择加入的边的起点和终点都在最小生成树T的集合中，那么就可以断定一定会形成回路（圈）。其实就是我们前面提到的“避圈法”：边的两个结点不能属于同一集合。
算法步骤：
① 初始化。将图G的边集E中的所有边按权值从小到大排序，边集TE={ }，把每个顶点都初始化为一个孤立的分支，即一个顶点对应一个集合。
② 在E中寻找权值最小的边（i，j）。
③ 如果顶点 i 和 j 位于两个不同连通分支，则将边（i，j）加入边集TE，并执行合并操作，将两个连通分支进行合并（序号→集合号、让集合号取相同值）。
④ 将边（i，j）从集合E中删去，即E=E?{（i，j）}。
⑤ 如果选取边数小于n?1，转②；否则，算法结束，生成最小生成树T。
2 完美图解
设G =（V，E）是无向连通带权图，如图98所示。
（1）初始化
将图G的边集E中的所有边按权值从小到大排序，如图2-99所示。
边集初始化为空集，TE={ }，把每个结点都初始化为一个孤立的分支，即一个顶点对应一个集合，集合号为该结点的序号，如图2-100所示↑。
（2）找最小
在E中寻找权值最小的边e1（2，7），边值为1。
（3）合并
结点2和结点7的集合号（顶点序号）不同，即属于两个不同连通分支，则将边（2，7）加入边集TE，执行合并操作（将两个连通分支所有结点合并为一个集合）；假设把小的集合号赋值给大的集合号，那么7号结点的集合号也改为2，如图2-101所示。
（4）找最小
在E中寻找权值最小的边e2（4，5），边值为3。
（5）合并
结点4和结点5集合号不同，即属于两个不同连通分支，则将边（4，5）加入边集TE，执行合并操作将两个连通分支所有结点合并为一个集合；假设我们把小的集合号赋值给大的集合号，那么5号结点的集合号也改为4，如图2-102所示↑。
（6）找最小
在E中寻找权值最小的边e3（3，7），边值为4。
（7）合并
结点3和结点7集合号不同，即属于两个不同连通分支，则将边（3，7）加入边集TE，执行合并操作将两个连通分支所有结点合并为一个集合；假设我们把小的集合号赋值给大的集合号，那么3号结点的集合号也改为2，如图2-103所示。
（8）找最小
在E中寻找权值最小的边e4（4，7），边值为9。
（9）合并
结点4和结点7集合号不同，即属于两个不同连通分支，则将边（4，7）加入边集TE，执行合并操作将两个连通分支所有结点合并为一个集合；假设我们把小的集合号赋值给大的集合号，那么4、5号结点的集合号都改为2，如图2-104所示↑。
（10）找最小
在E中寻找权值最小的边e5（3，4），边值为15。
（11）合并
结点3和结点4集合号相同，属于同一连通分支，不能选择，否则会形成回路。
（12）找最小
在E中寻找权值最小的边e6（5，7），边值为16。
（13）合并
结点5和结点7集合号相同，属于同一连通分支，不能选择，否则会形成回路。
（14）找最小
在E中寻找权值最小的边e7（5，6），边值为17。
（15）合并
结点5和结点6集合号不同，即属于两个不同连通分支，则将边（5，6）加入边集TE，执行合并操作将两个连通分支所有结点合并为一个集合；假设我们把小的集合号赋值给大的集合号，那么6号结点的集合号都改为2，如图2-105所示。
（16）找最小
在E中寻找权值最小的边e8（2，3），边值为20。
（17）合并
结点2和结点3集合号相同，属于同一连通分支，不能选择，否则会形成回路。
（18）找最小
在E中寻找权值最小的边e9（1，2），边值为23。
（19）合并
结点1和结点2集合号不同，即属于两个不同连通分支，则将边（1，2）加入边集TE，执行合并操作将两个连通分支所有结点合并为一个集合；假设我们把小的集合号赋值给大的集合号，那么2、3、4、5、6、7号结点的集合号都改为1，如图2-106所示↑。
（20）选中的各边和所有的顶点就是最小生成树，各边权值之和就是最小生成树的代价。
从上图可以看到，所有连通的图都只有一个相同的集合号，以此做为判断标准，避免构成回路。
3 代码
输入结点数n和边数m： 7 12 输入结点序号u、v和边值w： 1 2 23 1 6 28 1 7 36 2 3 20 2 7 1 3 4 15 3 7 4 4 5 3 4 7 9 5 6 17 5 7 16 6 7 25
输出
输出排序后的结点序号u、v和边值w： 2 - 7：1 4 - 5：3 3 - 7：4 4 - 7：9 3 - 4：15 5 - 7：16 5 - 6：17 2 - 3：20 1 - 2：23 6 - 7：25 1 - 6：28 1 - 7：36 选中的各边的两个结点序号和其边值： 2 - 7：1 4 - 5：3 3 - 7：4 4 - 7：9 5 - 6：17 1 - 2：23 点连通成树后边值求和后的最小值：57
4 算法复杂度分析
（1）时间复杂度：算法中，需要对边进行排序，若使用快速排序，执行次数为e*loge，算法的时间复杂度为O(e*loge)。而合并集合需要n?1次合并，每次为O(n)，合并集合的时间复杂度为O(n2)。
（2）空间复杂度：算法所需要的辅助空间包含集合号数组 nodeset[n]，则算法的空间复杂度是O(n)。
5 算法优化拓展
该算法合并集合的时间复杂度为O(n2)，我们可以用并查集的思想优化，使合并集合的时间复杂度降为O(e*logn)，优化后的程序做如下修改：
6 Kruskal算法与Prim算法的比较
（1）从算法的思想可以看出，如果图G中的边数较小时，可以采用Kruskal算法，因为Kruskal算法每次查找最短的边；边数较多可以用Prim算法，因为它是每次加一个结点。可见，Kruskal算法适用于稀疏图，而Prim算法适用于稠密图。
（2）从时间上讲，Prim算法的时间复杂度为O(n2)，Kruskal算法的时间复杂度为O(eloge)。
（3）从空间上讲，显然在Prim算法中，只需要很小的空间就可以完成算法，因为每一次都是从V?U集合出发进行扫描的，只扫描与当前结点集到U集合的最小边。但在Kruskal算法中，需要对所有的边进行排序，对于大型图而言，Kruskal算法需要占用比Prim算法大得多的空间。
附代码1
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100;
// ① 数据结构
int nodeset[N]; //集合号（顶点序号）数组
int n, m;
struct Edge { //边的存储结构(两个顶点和一个权值)
int u;
int v;
int w;
}e[N*N];
// ② 初始化
void Init(int n)
{
for(int i = 1; i <= n; i++)
nodeset[i] = i; //每个结点赋值一个集合号（顶点序号）
}
// ③ 定义优先级，按边值进行升序排序
bool comp(Edge x, Edge y)
{
return x.w < y.w;
}
// ④ 合并集合
int Merge(int a, int b)
{
int p = nodeset[a]; //p为a结点的集合号（顶点序号）
int q = nodeset[b]; //q为b结点的集合号（顶点序号）
if(p==q)
return 0; //集合号相同，什么也不做，返回
for(int i=1;i<=n;i++) //检查所有结点，把集合号是q的全部改为p
{
if(nodeset[i]==q)
nodeset[i] = p; //a的集合号赋值给b集合号
}
return 1;
}
int Kruskal(int n)
{
int ans = 0;
for(int i=0;i<m;i++)
if(Merge(e[i].u, e[i].v)) //如果执行了合并
{
ans += e[i].w;
n--;
cout<<e[i].u<<" - "<<e[i].v<<"："<<e[i].w<<endl;
if(n==1)
return ans;
}
return 0;
}
int main()
{
cout <<"输入结点数n和边数m："<<endl;
cin >> n >> m;
Init(n);
cout <<"输入结点序号u、v和边值w："<<endl;
for(int i=0;i<m;i++)
cin >> e[i].u>> e[i].v >>e[i].w;
sort(e, e+m, comp); //三个参数：待排序数组的首地址、尾地址，排序方式
cout <<"输出排序后的结点序号u、v和边值w："<<endl;
for(int j=0;j<m;j++)
cout<<e[j].u<<" - "<<e[j].v<<"："<<e[j].w<<endl;
cout<<"选中的各边的两个结点序号和其边值："<<endl;
int ans = Kruskal(n);
cout << "点连通成树后边值求和后的最小值：" << ans << endl;
system("pause");
return 0;
}
附代码2
int Find(int x) //找祖宗
{
if(x != nodeset[x])
nodeset[x] = Find(nodeset[x]);
//把当前结点到其祖宗路径上的所有结点的集合号改为祖宗集合号
return nodeset[x]; //返回其祖宗的集合号
}
int Merge(int a, int b) //两结点合并集合号
{
int p = Find(a); //找a的集合号
int q = Find(b); //找b的集合号
if(p==q) return 0;
if(p > q)
nodeset[p] = q; //小的集合号赋值给大的集合号
else
nodeset[q] = p;
return 1;
}
－End－